TEORÍA DE COLAS

TEORÍA DE COLAS O LINEA DE ESPERA

INTRODUCCIÓN

Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en los Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes.

El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas.

La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas.

Definiciones iniciales 

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor", el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.

Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas sencillo. Este modelo puede usarse para representar una situación típica en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un servidor disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido.

El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Introducción a la Teoría de Colas

En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc.

Todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento, etc.

Origen:

El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.

Modelo de formación de colas.

En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupación de líneas telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio.

Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente por que los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez mas larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal. Estos dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio, o una situación estable.

En la teoría de la formación de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal modo que pueden operar al unísono con una serie de operaciones organizadas. La teoría de la formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solución al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.

La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio

La teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones

Objetivos de la Teoría de Colas

Los objetivos de la teoría de colas consisten en:

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

Establecer un balance equilibrado ("óptimo") entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la "paciencia" de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente "abandone" el sistema.

Elementos existentes en un modelo de colas

-Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.

-Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos: clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de probabilidad. Normalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los Tk (que será la llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en proceso de ser atendidos.

-Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.

-Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:

La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.

La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.

-Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.

-La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

-El sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura:

Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor.

DEMOSTRACIÓN

• Pn : Probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema
• L: Número esperado de clientes en el sistema.
• Lq : Longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en servicio).
• W : Tiempo de espera en el sistema para cada cliente
• W : E(W )
• W q: Tiempo de espera en la cola para cada cliente.
• Wq: E (Wq )

El tiempo de estancia de un cliente en el sistema se relaciona con el tiempo de espera de un

cliente en la cola,

El número de clientes que por término medio se están atendiendo en cualquier momento es:

En un sistema de un único servidor:

La probabilidad de que un sistema de un único servidor esté vacío es p0=1-ρ

La probabilidad de que un servidor (de un sistema de c servidores en paralelo) esté ocupado en

el estado estable es:

El tiempo de estancia del cliente (i+1) en la cola es:

donde S(i) es el tiempo de servicio del cliente i, y T(i) es el tiempo que transcurre desde la

llegada del cliente y hasta la llegada del cliente (i+1)

DISTRIBUCIÓN DE LOS TIEMPOS DE SERVICIO

El tiempo de servicio es aquel que pasa un cliente en la instalación de servicio una vez que este se ha iniciado
Los tiempos de servicio son rara vez constantes
Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial
La probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual a un tiempo de duración t es:

µ= Promedio o número medio de unidades que pueden atenderse por periodo

FORMULAS para desarrollar las características de operación en estado estable de una línea de espera de un solo canal, aplicables solo cuando µ>λ

• Factor de utilización 

1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema 
2. Número promedio de unidades en la línea de espera 
3. Número promedio de unidades en el sistema 
4. Tiempo promedio que utiliza la unidad en la línea de espera 
5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema 
6. Probabilidad de que una unidad que llega tiene que esperar servicio 
7. Probabilidad de que el sistema este n unidades  

Ejemplo:

(M/M/K) MODELO DE LINEA DE ESPERA DE MÚLTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIAL.

La línea de espera tenga dos o mas canales

Las llegadas siguen una distribución de probabilidad poisson

El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial

La tasa media de servicio µ es la misma para cada uno de los canales

Las llegadas esperan en una sola línea de espera y entonces pasan al primer canal abierto para su servicio

La disciplina de la cola es PEPS(Primero en entrar, primero en salir)

FORMULAS, solo aplicables cuando: Kµ>λ
λ= Tasa media de llegadas del sistema
µ= Tasa media de servicio de cada canal
K= Número de canales

1. Probabilidad de que no exista unidades en el sistema 
2. Número promedio de unidades en la línea de espera
3. Número promedio de unidades en el sistema 
4. Tiempo promedio que ocupa una unidad en la línea de espera
5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en todo el sistema  
Probabilidad que existan n unidades en el sistema

                                                                      

λ= Tasa de llegada
1/λ= Tiempo promedio entre llegadas
µ= Tasa de servicio
1/µ= Tiempo promedio de servicio

Ejemplo: 

INVENTARIO DE SEGURIDAD PROBABILÍSTICO

INVENTARIOS PROBABILISTICOS

Cálculo del inventario de seguridad:

Es frecuente que la persona a cargo de planificar el inventario de seguridad suponga que la demanda está distribuida normalmente durante el tiempo de entrega, como muestra la figura siguiente. La demanda promedio durante el tiempo de entrega es la línea central de la gráfica, quedando 50% del área bajo la curva a la izquierda y el otro 50% a la derecha. Así pues, si se seleccionara un ciclo de nivel de servicio de 50%, el punto de reorden R sería la cantidad representada por esta línea central. Como R es igual a la demanda durante el tiempo de entrega más el inventario de seguridad, este ultimo es O cuando R es igual a esta demanda promedio. La demanda es inferior al promedio el 50% del tiempo, por lo cual el hecho de no tener un inventario de seguridad sólo será suficiente en el 50% del tiempo.

Para brindar un nivel de servicio por encima del 50%, el punto de reorden deberá ser mayor que la demanda promedio durante el tiempo de entrega. En la figura, eso requeriría mover el punto de reorden hacia la derecha de la línea central, de manera que más del 50% del área bajo la curva quedara a la izquierda de R. En la figura , se ha conseguido un ciclo del nivel de servicio del 85%, colocando a la izquierda de R el 85% del área bajo la curva y dejando sólo el 15% a la derecha. Calculamos el inventario de seguridad multiplicando el número de desviaciones estándar, con respecto a la media que se requiera para aplicar el ciclo del nivel de servicio, z, por la desviación .estándar de la demanda en la distribución de probabilidad, , durante el tiempo de entrega:

Cuanto más alto sea el valor de z, tanto más altos deberán ser el inventario de seguridad y el ciclo del nivel de servicio. Si z = O, entonces no existe inventario de seguridad y se presentarán faltantes en el 50% de los ciclos del pedido.

Ejemplo:

Los registros muestran que, durante el tiempo de entrega, la demanda de detergente para máquinas lavaplatos tiene una distribución normal, con un promedio de 250 cajas y

¿Qué inventario de seguridad será necesario tener para alcanzar un ciclo de nivel del servicio de 99%? ¿Y cuál tendrá que ser el valor de R?

Solución:

El primer paso consiste en encontrar z, el número de desviaciones estándar a la derecha de la demanda promedio durante el tiempo de entrega, con el cual el 99% del área bajo la curva queda a la izquierda de ese punto. El número más cercano que encontramos en la tabla es 0,9901, que corresponde a las cifras 2.3 en el encabezado de la fila y 0.03 en el de la columna. Al sumar estos valores se obtiene una z de 2.33. Con esta información, usted puede calcular el inventario de seguridad y el punto de reorden:

Hemos redondeado 1:1 cifra del inventario de seguridad al número entero más próximo. En es- te caso, el ciclo del nivel de servicio teórico será menor que el 99%. Si se aumenta a 52 cajas el inventario de seguridad, se obtendrá un ciclo del nivel de servicio mayor que el 99 por ciento.

Modelos Probabilísticos de Inventarios

En los modelos anteriores en que se determinó el lote económico de compra, la cantidad y la frecuencia en número de veces son fijas. Ahora veremos sistemas en los que la certeza o incertidumbre tanto de la frecuencia como de la cantidad, tienden a ser medidas estadísticas y probabilísticas.

Hay que considerar fluctuaciones aleatorias en la demanda, en las entregas de proveedores, en corridas de producción y otros factores incontrolables, estos no podrán controlarse con certeza pero si podrán medirse y pronosticarse para limitar los riesgos en la toma de decisiones sobre el abastecimiento, el control de los materiales y productos.

Las variables del sistema que pueden ser manejadas por la administración para desarrollar un sistema de control son: el tamaño del lote económico, la frecuencia de reabastecimiento, el pronóstico de los niveles de consumo y el método de información, en el cual se basa la frecuencia de revisiones.

Se considera a un Modelo Estocástico cuando algunas variables están en función a un modelo de probabilidad de que el evento se lleve a cabo, es decir, se toman los datos históricos como referencia para poder establecer el sistema para el siguiente período.

Existen dos modelos de control de inventarios estocásticos los cuales son:

1. Punto de reorden (cantidad fija, tiempo variable).

2. Revisión periódica (tiempo fijo, cantidad variable

1) Modelo Probabilístico de cantidad de ordenar fija ciclo variable (punto de reorden).

Este método consiste en una estimación de la demanda, con lo cual se determina una cantidad de reabastecimiento para el próximo periodo, así como el momento en que debe realizarse el pedido en función a una cantidad fija.

De acuerdo con este sistema cada vez que se requiere reabastecer un material o un producto se ordena la misma cantidad. La frecuencia de las órdenes es variable debido a las fluctuaciones del consumo en las existencias. Las órdenes de reabastecimiento se formulan por una cantidad predeterminada que no necesariamente tiene que ser la del lote económico calculado.

La orden de compra de un material se formula cuando la existencia ha llegado a la cantidad determinada como mínimo.(punto de reorden) que normalmente representa la cantidad de unidades razonables suficiente para aguantar en el almacén durante el tiempo de reposición o entrega, más una cantidad de reserva (inventario de seguridad), que está disponible en el promedio a lo largo del año.

Las cantidades de reposición por lo general son fijas y recalculadas sólo cuando se esperan cambios significativos en la demanda (estos cambios pueden verificarse mediante los consumos en las salidas anotadas en las tarjetas de existencias y pronosticarse por medio de las técnicas de promedio móvil y aproximación exponencial).

Es importante llevar los registros de existencias con los datos que proporcione la disponibilidad, esta consiste en la existencia física en el almacén más órdenes de compra pendientes surtidas, menos las salidas pendientes por programas de producción o requisiciones rezagadas.

El tiempo de adquisición o tiempo de entrega se considera desde que se comienza a elaborar una orden hasta que entra al almacén lo ordenado, este sistema tiene la siguiente gráfica:

Nota: Este sistema utiliza las fórmulas (reposición instantánea, no instantánea, de escasez), para determinar las cantidades de reposición o de ordenar (el tamaño del lote).

En la determinación de este sistema se emplean las siguientes fórmulas:

1) Nivel de servicio:

n.s. N - F X 100%

Donde :

N = Número de pedidos anuales N = D / Qo

F = Faltantes de pedidos anuales

D = Demanda anual

Qo = Cantidad óptima a pedir

2) Inventario de Seguridad I.S. ( b ):

s = Desviación estándar

Z = Valor de la tablas de la normal con respecto al nivel de servicio

L = Tiempo de entrega, expresado en unidades.

T = Tiempo considerado para el pronóstico expresado en unidades

3) Punto de reorden (P.R.): 

P.R. = D (L) + I.S. ( b )

4) Inventario Promedio (Ip):

Ip = Qo / 2 + I.S. ( b ) 

5) Inventario máximo (Imax):

Imax = Qo + I.S. ( b ) 

Ejemplo!!!

2) Modelo Probabilístico de cantidad de ordenar variable, ciclo fijo (Revisión periódica)

En este sistema los ciclos de abastecimiento están controlados por periodos preestablecidos. La periodicidad puede ser semanal, quincenal, mensual o de acuerdo con cualquier otro ciclo, según la política que se debe establecer. Sin embargo, el tamaño de la orden varía en cada ciclo para absorber las fluctuaciones del consumo entre un periodo, y la cantidad de materiales calculada para el periodo de abastecimiento se aumenta con una cantidad razonablemente calculada de reserva (inventario de seguridad).

El sistema de tiempo fijo y cantidades variables se aplica cuando la incertidumbre de las fluctuaciones, debidas a causas internas y externas, no permite establecer un patrón de cantidades de reorden uniformes. En este sistema la revisión de los saldos se hace periódicamente, existiendo una variedad de maneras y procedimientos para efectuar las revisiones periódicas, pero la base es el control; esta consiste en una revisión en los periodos calculados y establecidos, y en formular una orden de compra basada en la cantidad consumida desde la última revisión.

Este sistema permite establecer políticas de reabastecimiento automático en periodos cíclicos uniformes, para lo cual cuenta con la siguiente gráfica

En este ejemplo, el periodo de revisión es de cada 3 unidades de tiempo. El tiempo de entrega es de 1 unidad de tiempo.

Además se puede apreciar claramente que los lotes a pedir son diferentes en cantidad cada vez.

El sistema de cantidad variable se elimina o reduce a un mínimo la costosa y continua vigilancia de los saldos en las existencias, que se lleva a cabo con el sistema de cantidades de reorden fijas. En el sistema de tiempo fijo la revisión de saldos se hace periódicamente, cada semana o cada mes.

Puede haber una variedad de maneras y procedimientos para efectuar las revisiones periódicas, pero la base es el control, este consiste en una revisión en los periodos calculados y establecidos y en formular una orden de compra basada en la cantidad.

Fórmulas:

1) El nivel de servicio:

n.s. = N – F X 100

N

N = número de revisiones anuales.

F = faltantes anuales.

La determinación del periodo optimo de revisión es simplemente r < L, calculada mediante las fórmulas de la cantidad óptima esperada. En el caso de productos individuales puede determinarse con metodologías más precisas.

2) Inventario de Seguridad:

L: Tiempo de entrega expresado en unidades

T: Tiempo considerado para el pronóstico expresado en unidades

¡: Tiempo de revisión o tipo de revisión expresado en unidades

Z: Valor de las tablas de la normal, en base al nivel de servicio

Inventario de seguridad: Este inventario se mantiene constante por si se presenta un agotamiento de existencias durante el ciclo, ello podría suceder antes de la recepción del pedido, o inmediatamente antes de la recepción del siguiente pedido, ¡ + L unidades de tiempo más tarde. Aunque se formule un segundo pedido ¡ unidades de tiempo después del primero, no se cambia la posibilidad del agotamiento de existencias durante ¡ + L, puesto que no se recibirá el pedido sino hasta el final del ciclo.

3) Inventario promedio:

4) Inventario máximo:

5) Cantidad a pedir:

O. ¡. = Ordenes colocadas o en tránsito al momento de la revisión.

I.F. = Inventario físico al momento de la revisión.

Ejemplo General!!!

EJEMPLOS DE CEP CLÁSICO-CEP CON FALTANTES Y MODELO EOQ DESCUENTOS POR CANTIDAD

EJEMPLOS DE CEP CLÁSICO-CEP CON FALTANTES Y MODELO EOQ DESCUENTOS POR CANTIDAD

EJEMPLOS DE CEP CLÁSICO

Si la demanda de un artículo es constante de 9000 unidades / año el costo a ordenar es de 2.5 dólares /orden y el costo de conservación es de 2 dólares por unidad al año.
a) Encuentre el tamaño del lote económico.
b) Número de ordenes por año.
c) Cada cuanto tiempo llega un pedido.
d) Cual es el costo del inventario anual.
e) Cual es el punto de reorden si el tiempo de entrega es de 3 días.

EJEMPLO DE CEP CON FALTANTES

Un agente de mercedes benz debe pagar 20 000 dólares por cada automóvil que compra , el costo anual de almacenamiento es de 25% del valor del automóvil , el agente vende 500 autos al año su costo por faltantes sera de 20000 dólares. Cada vez que el agente coloca un pedido su costo es de 10 000 dólares determine:

a) La cantidad que debe ordenar el cada pedido Q
b) El máximo nivel de inventario.
c) el numero de ordenes por año
d) El costo mínimo anual.

EJEMPLO DE MODELO EOQ DESCUENTOS POR CANTIDAD

Un fabricante tiene una demanda de 2000 partes al año , el costo/unidad = 5 dólares , el costo por ordenar es de 5 dólares por orden , el costo de conservación es de 1.5 dólares/año por almacenamiento mas el 10% por unidad al año debido al costo de oportunidad del capital , el proveedor ofrece un descuento del 5% en el precio si se ordenan 200 unidades o mas.

TEORÍA DE INVENTARIOS

TEORÍA DE INVENTARIOS

Simplemente ¿Qué es un inventario? Es la mercancía disponible para ser usada.

Inventario: La cantidad de artículos que son almacenados y se mantienen inactivos en un instante de tiempo dado.

Costos asociados a un inventario

   Costos de conversación o mantenimiento.Son asociados con mantener un nivel dado de inventario y varía con el nivel y periodo de tiempo que se mantiene el inventario. Comprende costos de oportunidad, depreciación, seguros, pagos de renta, energía eléctrica, etc. ($/unidad/año).

   Costo de ordenar o de pedido.Es el costo asociado con el abastecimiento del inventario como son el costo de requisición, pago al proveedor, costos contables, salario de personal que realiza los trámites, etc. (dólares/pedido)

   Costos por faltantes.Estos son los costos de penalización en que se incurre cuando se queda sin la mercancía cuando esta se necesita.

Características de los sistemas de inventario

   Ciclo de pedido: se identifica por el periodo de tiempo entre la colocación de dos pedidos sucesivos.

   Tiempo de anticipación: cuando se coloca un pedido puede que se reciba inmediatamente o puede que se tome algún tiempo antes de que se reciba. El tiempo entre la colocación y la recepción se conoce como tiempo de anticipación o de adelanto.

   Reabastecimiento instantáneo: Ocurre cuando los artículos se compran a fuentes externas.

   Reabastecimiento uniforme: Ocurre cuando el artículo es producido localmente o dentro de la organización.

   Horizonte de tiempo: Define el periodo sobre el cual el nivel de inventario debe ser controlado.

   Demanda probabilista: Es la que se basa en distribuciones de probabilidad.

   Demanda determinística: Aquí se conoce con certeza los requerimientos del cliente.

Modelos de cantidad económica

Modelo de cantidad económica de pedido clásico.
Modelo de cantidad económica de pedido con faltantes.
Modelo de cantidad económica de pedido para lotes de producción.
Modelo de cantidad económica de pedido con descuentos.
Modelo de cantidad económica de pedido clásico.

SOLUCIONES BÁSICAS:

La demanda se conoce con certeza.
La tasa de demanda es constante.
El inventario se reabastece cuando su nivel es igual a ¨0¨.
El tiempo de anticipación es constante.

El precio unitario, el costo de pedido y los costos de conservación son constantes.

PERT Y CPM (Construcción de redes)

Lógica seguida para la construcción de una red

CPM (Critical Path Method)

Pasos en el planeamiento del proyecto del CPM:

-Especifique las actividades individuales.

-Determine la secuencia de esas actividades.

-Dibuje un diagrama de la red.

-Estime la época de la terminación para cada actividad.

-Identifique la trayectoria crítica (la trayectoria más larga a través de la red)

-Ponga al día el diagrama del CPM como progresa el proyecto.

-Especifique las actividades individuales

ESPECIFIQUE LAS ACTIVIDADES INDIVIDUALES.

De la estructura de la interrupción del trabajo, un listado se puede hacer de todas las actividades en el proyecto. Este listado se puede utilizar como la base para agregar la información de la secuencia y de la duración en pasos más últimos.

DETERMINE LA SECUENCIA DE LAS ACTIVIDADES

Algunas actividades son dependientes en la terminación de otras. Un listado de los precursores inmediatos de cada actividad es útil para construir el diagrama de la red del CPM.

DIBUJE EL DIAGRAMA DE LA RED

Una vez que se hayan definido las actividades y el su ordenar, el diagrama del CPM puede ser dibujado. El CPM fue desarrollado originalmente como actividad en red del nodo (AON), pero algunos planificadores del proyecto prefieren especificar las actividades en los arcos.

ESTIME LA ÉPOCA DE LA TERMINACIÓN PARA CADA ACTIVIDAD.

El tiempo requerido para terminar cada actividad se puede estimar usando experiencia previa o las estimaciones de personas bien informadas. El CPM es un modelo determinista que no considera la variación en el tiempo de la terminación, tan solamente un número se utiliza para la estimación del tiempo de una actividad.

IDENTIFIQUE LA TRAYECTORIA CRÍTICA (LA TRAYECTORIA MÁS LARGA A TRAVÉS DE LA RED)

La trayectoria crítica es la trayectoria de la largo-duracio'n a través de la red. La significación de la trayectoria crítica es que las actividades que mienten en ella no se pueden retrasar sin delaying el proyecto. Debido a su impacto en el proyecto entero, el análisis de trayectoria crítica es un aspecto Importante del planeamiento del proyecto.

La trayectoria crítica puede ser identificada determinando los cuatro parámetros siguientes para cada actividad:

-ES, Principio temprano.

-EF, principio tardío.

-LS, terminación temprana.

-LF, terminación tardía.

La época floja para una actividad es el tiempo entre su hora de salida más temprana y más última, o entre su tiempo más temprano y más último del final. La holgura es la cantidad de tiempo que una actividad se puede retrasar más allá de su comienzo más temprano o final más temprano sin delaying el proyecto.

La trayectoria crítica es la trayectoria a través de la red del proyecto en la cual ningunas de las actividades tienen holgura, es decir, la trayectoria para la cual ES=LS y EF=LF para todas las actividades en la trayectoria. Retrasa en la trayectoria crítica retrasa el proyecto. Semejantemente, acelere el proyecto que es necesario reducir el tiempo total requerido para las actividades en la trayectoria crítica.

PONGA AL DÍA EL DIAGRAMA DEL CPM

Pues progresa el proyecto, los tiempos reales de la terminación de la tarea serán sabidos y el diagrama de la red se puede poner al día para incluir esta información. Una trayectoria crítica nueva puede emerger, y los cambios estructurales se pueden realizar en la red si los requisitos del proyecto cambian.

LIMITACIONES DEL CPM

El CPM fue desarrollado para el complejo pero los proyectos bastante rutinarios con incertidumbre mínima en los tiempos de la terminación del proyecto. Para menos proyectos de la rutina hay más incertidumbre en los tiempos de la terminación, y límites de esta incertidumbre la utilidad del modelo determinista del CPM. Una alternativa al CPM es el modelo del planeamiento del proyecto del PERT, que permite que una gama de duraciones sea especificada para cada actividad.

Aquí les dejo 2 ejemplos muy específicos:

METODO PERT (Program Evaluation 

and Review Technique)

En CPM se asume que la duración de cada actividad es conocida con certeza. Claramente, en muchas ocasiones este supuesto no es valido. PERT intenta corregir este error suponiendo que la duración de cada actividad es una variable aleatoria. Para cada activad, se requiere estimar las siguientes cantidades:

a = Tiempo Optimista. Duración de la actividad bajo las condiciones más favorables

b = Tiempo Pesimista. Duración de la actividad bajo las condiciones más desfavorables

m = Tiempo Normal. El valor más probable de la duración de la actividad.

La forma de la distribución se muestra en la siguiente Figura. 6 tiempo más probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en losmateriales y otros factores.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Con la distribución definida, la media (esperada) y la desviación estándar, respectivamente, del tiempo de la actividad para la actividad Z puede calcularse por medio de las fórmulas de aproximación.

El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica. De modo similar, suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes (realísticamente, una suposición fuertemente cuestionable), la varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica.

PASOS EN EL PROCESO DE PLANEAMIENTO DEL PERT

1. El planeamiento del PERT implica los pasos siguientes:
2. Identifique las actividades y duración especifica,
3. determine la secuencia apropiada de las actividades,
4. construya un diagrama de red,
5. determine el tiempo requerido para cada actividad,
6. determine la trayectoria critica,
7. Ponga al día la carta del PERT según como progresa el proyecto.

IDENTIFIQUE LAS ACTIVIDADES Y LOS PRECEDENTES

Las actividades son las tareas requeridas para terminar el proyecto. Los precedentes son los acontecimientos que marcan el principio y el final de una o más actividades. Es provechoso enumerar las tareas en una tabla que en pasos mas últimos se pueda ampliar para incluir la información sobre secuencia y duración.

DETERMINE LA SECUENCIA DE LA ACTIVIDAD

Este paso se puede combinar con el paso de la identificación de la actividad puesto que la secuencia de la actividad es evidente para algunas tareas. Otras tareas pueden requerir más análisis para determinar el orden exacto en la cual deben ser realizadas

CONSTRUYA EL DIAGRAMA DE RED

Usando la información de la secuencia de la actividad, un diagrama de la red se puede dibujar demostrando la secuencia de actividades seriales y paralelas.

TIEMPOS DE ACTIVIDAD DE ESTIMACION

Para cada activad, se requiere estimar las siguientes cantidades:

a = Tiempo Optimista. El que representa el tiempo mínimo posible sin importar el costo o cuantía de elementos materiales y humanos que se requieran; es simplemente la posibilidad física de realizar la actividad en el menor tiempo

b = Tiempo Pesimista. Es un tiempo excepcionalmente grande que pudiera presentarse ocasionalmente como consecuencia de accidentes, falta de suministros, retardos involuntarios, causas no previstas, etc.

m = Tiempo Normal. El valor más probable de la duración de la actividad, basado en la experiencia personal del informador

Si Tij es la variable aleatoria asociada a la duración de la actividad (i; j), PERT asume que Tij sigue una distribución Beta. Sin entrar en mayores detalles de esta distribución, se puede demostrar que el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria Tij quedan definidas por:

En PERT se asume además que la duración de las actividades es independiente. Por lo tanto, el valor esperado y la varianza de una ruta pueden ser estimadas según:

= Duración esperada de la ruta

= Variación de la duración de la ruta

DETERMINE LA TRAYECTORIA CRÍTICA

La trayectoria crítica es determinada agregando los tiempos para las actividades en cada secuencia y determinando la trayectoria mas larga del proyecto. La trayectoria crítica determina el tiempo total del calendario requerido para el proyecto. Si las actividades fuera de la trayectoria cítrica aceleran o retrasaron el tiempo ( dentro de los limites), entonces el tiempo total de proyecto no varia, la cantidad del tiempo que una actividad no critica de la trayectoria sin alterar la duración del proyecto se denomina como tiempo flojo.

Si la trayectoria crítica del proyecto no resulta obvia, entonces puede ser provechoso determinar las cuatro cantidades siguientes para cada actividad:

• ES, Principio temprano.
• EF, principio tardío.
• LS, terminación temprana.
• LF, terminación tardía.

Se calculan estos tiempos usando la época prevista para las actividades relevantes. Los tiempos más tempranos del comienzo y del final de cada actividad son determinados trabajando adelante a través de la red y determinando el tiempo más temprano en el cual una actividad puede comenzar y acabar a considerar sus actividades del precursor. Los tiempos más últimos del comienzo y del final son los tiempos más últimos que una actividad puede comenzar y acabar sin variar el proyecto. El LS y el LF son encontrados trabajando al revés a través de la red. La diferencia en el final más último y más temprano de cada actividad es holgura de esa actividad. La trayectoria crítica entonces es la trayectoria a través de la red en la cual ningunas de las actividades tienen holgura.

La variación en el tiempo de la terminación del proyecto puede ser calculada sumando las variaciones en los tiempos de la terminación de las actividades en la trayectoria crítica. Dado esta variación, una puede calcular la probabilidad que el proyecto será terminado por cierta fecha si se asume que una distribución normal de la probabilidad para la trayectoria crítica.

Sea CP la variable aleatoria asociada a la duración total de las actividades de la ruta crítica determinadas mediante CPM. PERT asume que la ruta crítica encontrada a través de CPM contiene suficientes actividades para emplear el Teorema Central del Límite y concluir que CP se distribuye normalmente.

Puesto que la trayectoria crítica determina la fecha de la terminación del proyecto, el proyecto puede ser acelerado agregando los recursos requeridos para disminuir la época para las actividades en la trayectoria crítica.

LA ACTUALIZACIÓN SEGÚN COMO EL PROYECTO PROGRESA

Haga los ajustes en la carta del PERT como progresa el proyecto. Mientras que el proyecto revela, los tiempos estimados se pueden sustituir por épocas reales. En casos donde hay retrasa, los recursos adicionales puede ser necesario permanecer en horario y la carta del PERT se puede modificar para reflejar la nueva situación.

VENTAJAS DEL PERT

El PERT es útil porque proporciona la información siguiente:

• Tiempo previsto de la terminación del proyecto.
• Probabilidad de la terminación antes de una fecha especificada.
• Las actividades de la trayectoria crítica que afectan directamente el tiempo de la terminación.
• Las actividades que tienen tiempo flojo y que pueden prestar recursos a las actividades de la trayectoria crítica.
• Fechas del comienzo y del extremo de la actividad.

LIMITACIONES

Los siguientes son algunas de las debilidades del PERT:

• Las estimaciones del tiempo de la actividad son algo subjetivas y dependen del juicio. En casos donde hay poca experiencia en la ejecución de una actividad, los números pueden ser solamente una conjetura. En otros casos, si la persona o el grupo que realiza la actividad estiman el tiempo puede haber diagonal en la estimación.
• Incluso si bien-se estiman los tiempos de la actividad, el PERT asume una distribución beta para éstos las estimaciones del tiempo, pero la distribución real puede ser diferente.
• Incluso si la asunción beta de la distribución sostiene, el PERT asume que la distribución de la probabilidad del tiempo de la terminación del proyecto es igual que el de la trayectoria crítica. Porque otras trayectorias pueden convertirse en la trayectoria crítica si se retrasan sus actividades asociadas, el PERT subestima constantemente el tiempo previsto de la terminación del proyecto.

Aquí les dejo un ejemplo de PERT:

CONCLUSIONES

El PERT y CPM han sido aplicados a numerosos proyectos. Empezando con su aplicación inicial al proyecto Polaris y al mantenimiento de plantas químicas, hoy ellos (y sus variantes) se aplican a la construcción de carreteras y de edificios, y al desarrollo y producción de artículos de alta tecnología tales como aviones, vehículos espaciales, barcos y computadores.

El PERT se desarrolló para proyectos en donde hubiera incertidumbre en el tiempo de las actividades (usualmente debido a que el proyecto nunca se había intentado antes y por tanto no había bases de datos, para los tiempos de las actividades). Esto condujo al enfoque probabilístico que se tomó. Mientras que en PERT los estimados de tiempo y sus distribuciones han sido de controversia, el PER'I' ha constituido una herramienta útil para la administración de proyectos. La principal desventaja es que no es funcional para grandes proyectos, debido a los tres estimados de tiempo que se requieren en cada actividad y a la capacidad limitada de los computadores actuales, para almacenar esta vasta cantidad de datos. Además, el costo de actualizar y mantener la información del proyecto con el tiempo en ambientes tan dinámicos, puede ser excesivamente prohibitivo.

Por otra parte, el CPM se desarrolló para manejar proyectos repetitivos o similares (ej., mantenimiento de plantas químicas). Obviamente, se gana gran cantidad de experiencia con el tiempo en tales circunstancias, aun cuando dos proyectos puede que no sean iguales. Esta experiencia llevó al análisis de técnicas de colisión utilizadas en las redes CPM.